Celtic Knotwork : the ultimate tutorial

8. Encapsulation

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Vous allez apprendre comment mettre en boîte un motif, ce que j’appelle "l’encapsuler", de manière à pouvoir l’utiliser dans une création plus grande. Nous commençons d’abord par découvrir qu’il y a un besoin sur un exemple. Disons que vous aimez le nœud de trèfle (c’est mon cas) et que vous voulez en faire quelque chose. Par exemple une croix. Le trèfle étant codé par un triangle, vous pouvez essayer de mettre quatre triangles côtes à côtes et après beaucoup de peine et de sueur, vous pouvez obtenir quelquechose comme ça :

C’est très joli mais nécessite beaucoup de coup de main. Vous pouvez essayer d’aller plus loin et en faire le motif d’une plus grande croix. Après beaucoup de gros mots et de ratures, vous obtiendrez par exemple :

Très joli, mais vraiment dur à ajuster. Si vous essayez, vous verrez qu’on ne peut pas faire de grandes figures précises de cette façon. Heureusement, il y a une méthode pour ne pas tatonner, celà s’appelle l’encapsulation. Mais tout d’abord il faut que vous compreniez une notion mathématique assez simple mais vraiment riche :

La dualité

En reprenant le nœud de trèfle, quand vous en extrayez le graphe, vous auriez pû mettre les sommets non pas dans les zones blanches mais dans les zones noires. La zone externe est un peu spéciale, il faut fusionner tous les sommets qu’on place naturellement à l’extérieur près de chaque croisement, en un seul en les connectant par un grand mur qui fait tout le tour du motif. Sur la sphère, nous n’aurions pas ce problèmes. Une image valant mieux que de longs discours, on obtient la figure c., au lieu de la figure originale b. :

Vous venez d’assister à la construction du dual du triangle. En fait, une fois que vous avez le graphe, vous n’avez plus besoin du nœud, vous pouvez construire son dual directement : Ses sommets sont au centre des faces du graphe de départ et ses arêtes sont transverses :

Par exemple, le réseau triangulaire est dual du réseau hexagonal (cliquez dessus).

Maintenant vous voyez que notre nœud de trèfle étant complètement enfermé dans une boîte, c’est très simple de l’utiliser pour faire une croix. Il suffit de dessiner un carré, ses diagonales, ce qui fait quatre capsules triangulaires, de recopier à l’intérieur le graphe du nœud de trèfle, d’ouvrir quelques murs pour que les nœuds se fondent en un seul et voila !

Quant à la grande croix c’est encore plus facile, empilez cinq de ces carrés et ouvrez quelques murs pour que les petites croix se mélangent :

L’idée derrière la construction d’un grand motif est de commencer par trouver des petits noeuds que vous aimez, de les mettre en boîte en construisant leur graphe dual et de paver votre espace de travail avec ces boîtes.

Voyons un autre exemple. En jouant avec le réseau triangulaire, vous trouvez ce joli motif :

Pour en faire quelque chose, il faut d’abord construire son graphe dual (cliquez dessus) :

Ensuite vous pouvez en faire une croix à cinq branches en claquant des doigts :

La seule difficulté réside dans le choix des portes à ouvrir dans les murs d’enceinte entourant vos capsules. Il en faut suffisament pour que vos noeuds se mélangent mais néanmoins judicieusement placées pour que chaque motif soit reconnaissable. C’est comme un mariage réussi, il faut qu’ils ne forment qu’un tout en gardant leur individualité.

Maintenant, si vous voulez des entrelacs qui ont un début et une fin, il vous faut des enchevêtrements.

13 Messages de forum

  • Dualité 3 janvier 2007 18:37, par Darc Mano

    Je ne suis pas sure de comprendre la phrase "Ensuite, une arète
    partageant 2 faces, c’est-à-dire deux sommets duaux, on tire au-dessus
    et en travers de cette arète une arète duale entre ces deux sommets duaux."

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    • Dualité 3 janvier 2007 18:41, par Christian Mercat

      Je suis d’accord, ce n’est pas facile à comprendre !

      La dualité associe à un graphe planaire (vert), un autre graphe planaire (rouge). Un graphe planaire étant composé de sommets, d’arètes et de faces, on construit son dual en marquant un sommet (rouge) au centre de chaque face (verte). Et comme une arète (verte) sépare deux faces (vertes), sont associées à ces deux faces (vertes) deux sommets duaux (rouges). On tire alors une arète (rouge) entre ces deux sommets (rouges).

      C’est plus clair comme ça ? Cordialement, Ch. M.

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  • Encapsulation 2 septembre 2007 16:57, par sophie

    bonjour, je trouve votre site tres bien jusqu au moment de l encapsulation, j ai rien compris ! en tout cas je ne comprends pas comment créer le dual,
    auriez vous d autres exemples, et d autres explications, plus au pas a pas
    merci d avance

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    • Cliquez sur les images 2 septembre 2007 19:18, par Christian Mercat

      Essayez déjà de cliquer sur les images pour voir les exemples complets. L’idée : mettre le motif en boite ; la méthode : mettre un sommet au centre de chaque face du graphe de départ et tirer une arête duale au-dessus de chaque arête primale.

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      • extérieur ou intérieur ? 28 mars 2008 18:48, par gabriel irlande

        je comprends bien la mise en boîte,sauf pour une chose :
        "à quoi servent les arêtes rouges du dual,vu qu’il suffit de la forme du tour pour créé une plus grande forme ?"
        je me suis peut-être mal expliqué,mais nous avons déjà les arêtes vertes à l’intérieur de la forme en rouge(dans ce cas,un carré) ?

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        • Contraindre 29 mars 2008 12:21, par Christian Mercat

          Cher Gabriel,

          C’est vrai, on peut tout faire avec seulement le graphe vert. Mais pour être bien précis, avoir le graphe rouge aide vraiment, l’entrelacs doit passer entre le rouge et le vert, en ne les touchant qu’aux milieux des arêtes, où il y a un croisement.

          D’autres part, pour faire une grande construction, le graphe rouge est primordial, il permet de poser les boites les unes sur les autres et de bien contrôler ce qui se passe quand on "ouvre des portes" entre les boites. Sans ça, on s’y perd et on fait n’importe quoi, on peut réussir à faire de jolies choses, mais on maitrise moins.

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          • merci 29 mars 2008 12:48, par gabriel irlande

            merci pour l’information, il y a des détails que je ne savais pas,mais ma vrai question est :"a quoi sert la forme rouge de l’intérieur, alors que l’on a celle de l’extérieur pour construire les grande formes ?"
            Tu l’as peut-être dit dans ton message mais je l’ai surement mal compris, car je n’ai que 10 ans !

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            • Guider précisément 30 mars 2008 21:42, par Christian Mercat

              Cher Gabriel,

              La valeur n’attend pas le nombre des années ! Quand tu utilises le graphe vert, tu vois comment le brin de l’entrelacs ne le coupe jamais, sauf au milieu, là où il y a le croisement. En particulier il doit bien "tourner autour du coin", assez loin pour que quand on construit les côtés gauche et droit de la route, il y ai suffisamment de place. Et bien quand on met les deux graphes, rouges et verts en même temps, on voit plus précisément où doit passer le brin, puisqu’il doit passer au loin des coins rouges et des coins verts, entre les deux murs rouges et verts, qu’il ne coupe qu’aux croisements.

              Sinon, on peut aussi se passer complètement d’un des deux graphes, n’utiliser que le vert ou que le rouge, et on peut faire de belles choses.

              Bon courage, tiens moi au courant !

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  • Encapsulation 12 juillet 2009 15:38, par Marc

    Félicitation,

    Je trace à main levée, pour graver sur de la roche, je travaille donc "au pif", mais pour l’aspect, il manque quelquefois le fini que donne la régularité géométrique. Je suis épaté de voir qu’on peut, dans une première approche, tracer cela d’une manière tout-à-fait cartésienne. Merci pour la méthode.

    Bien amicalement, Marc

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  • Encapsulation 16 janvier 2011 17:13, par Patrick

    Bonjour,

    Tout d’abord, merci pour ce tutoriel.
    J’ai cependant un problème.

    J’essaie de reproduire votre exemple du noeud de trèfle encapsulé.
    Vos schémas de principe sont assez approximatifs, je voudrais pouvoir tracer le graphe de façon précise.

    Je ne comprends pas comment arriver à trouver un dual à mon noeud qui entre dans un carré. Mon grand triangle dual n’a pas des angles à 45°en bas puisque je pars d’un triangle équilatéral dans mon graphe.

    Dans l’autre sens, en partant du carré, une fois les triangles du dual tracés, je n’arrive pas à retrouver le graphe. Les médiatrices du triangle dual donnent un centre au milieu de l’hypoténuse du triangle du dual (normal), du coup où mettre le triangle du graphe ???
    Je m’y prend surement mal ... mais je ne vois pas comment procéder autrement.

    Pour être sur : les segments des deux graphes se croisent-ils bien à angles droits ?

    Merci pour votre aide.

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    • Dual = angles droits au milieu 17 janvier 2011 14:22, par Christian Mercat

      Cher Patrick, merci pour votre message.

      Oui, les arêtes duales se coupent à peu près à angle droit et en leur milieu. Elles sont donc à peu près médiatrices l’une de l’autre. La longueur des arêtes primales et duales sont en moyenne de même taille (à part le mur d’enceinte qui lui peut faire ce qu’il veut).

      En partant du triangle, vous placez son centre, vous avez la longueur, ça vous donne les trois arêtes duales. Vous les enfermez dans un triangle et voilà.

      Dans l’autre sens, vous tracez la médiatrice de l’arête et vous retrouvez le triangle dont vous êtes parti.

      Je ne comprends pas votre question à propos d’un trèfle dans un carré. J’ai mis quatre trèfles dans mon carré, en le découpant en quatre triangles qui ne sont plus équilatéraux du coup, je leur ai fait subir une affinité qui les aplatit. On peut effectivement retailler un peu le dual pour que les arêtes duales restent à angle droit.

      Retrouver les murs est cependant impossible mathématiquement, il y a un grand degré de liberté dans ce que vous faites avec les murs. Il faut en disposer pour que votre graphe soit équilibré et harmonieux, ce qui n’est pas aisément mathématisable sans entrer dans des détails fastidieux.

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      • Dual = angles droits au milieu 17 janvier 2011 20:32

        Merci pour votre réponse.

        J’abandonne alors l’idée du précis.

        Cependant, je ne vois vraiment pas ce que vous appelez le "centre" d’un triangle ou d’une surface.

        Dans le cas du carré, ce que j’en comprend, c’est qu’une fois découpé par ses diagonales, il faut que je positionne un "centre" à chacun des triangles, là où cela me parait bien, sans chercher un critère géométrique.

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        • centre d’une arête = milieu 17 janvier 2011 22:08, par Ch.M.

          La précision est quand-même assez grande : quand vous tournez une arête de 90° autour de son milieu, pour peu que des arêtes duales adjacentes se coupent à peu près en un point, vous avez la position de ce "centre". Mais effectivement, quand ce n’est pas une frise géométrique, il faut laisser tomber l’exactitude. Mais on peut faire de très belle choses exactes avec des (sous-)réseaux carrés ou triangulaires.

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vendredi 18 août 2006, par Christian Mercat

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