Celtic Knotwork : the ultimate tutorial
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Déformer par une application conforme

Une tresse, c’est joli, mais un peu lassant.

Les applications conformes, ne partez pas en courant, sont des transformations du plan dans lui-même. Si vous partez d’une image, vous obtenez par ce procédé une autre image.

Si vous partez d’une image montrant des tresses, vous obtenez de belles tresses bien compliquées.

Vous trouverez plus d’informations ici.

Portfolio

3 Messages de forum

  • Déformer par une application conforme 11 février 2007 21:59

    Bonjour,

    Je dessine les entrelacs à l’aide des courbes de Bézier dans KnotsBag. J’ai essayé de transformer ces courbes paramétrées par une inversion de centre O (centre du graphe) et de puissance variable. Naïvement j’ai transformé les points d’ancrage et les points de contrôle des courbes de Bézier puis j’ai reconstruit les courbes à partir des points transformés. Problème : les tangentes gauche et droite d’un même point qui étaient parallèles (et confondues) ne le sont plus après l’inversion. Les brins sont brisés et ce n’est pas très joli !
    Help !

    Géraud Bousquet

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    • Les tangentes suivent la dérivée 12 février 2007 13:55, par Christian Mercat

      Effectivement, l’image d’une courbe de Bézier par une application conforme n’est pas en général une courbe de Bézier. Pour ce qui est des tangentes, il faut les redéfinir.

      La dérivée d’une application conforme en un point est un nombre complexe, f'(z)=r e^{i\theta}. Ce module r et cet argument \theta disent de combien gonfle et tourne l’image localement.

      Une tangente est ainsi transformée par une similtude, composée d’une homothétie, de rapport le module r et une rotation d’angle \theta.

      Il ne suffit donc pas d’avoir la position des points image, il faut aussi avoir la valeur de la dérivée.

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      • Les tangentes suivent la dérivée 19 février 2007 12:02, par Géraud bousquet

        Soit z1 un point d’ancrage et z2 le point de contrôle de sa tangente. Soit z1’ l’image de z1 par la transformation conforme. Si j’ai bien compris, pour trouver l’équivalent de z2’ je dois calculer la valeur de la dérivée en z1 puis appliquer une rotation d’angle théta. J’ai donc ainsi la tangente en z1’. Reste à calculer la position de l’équivalent de z2’ sur cette tangente pour reconstruire la courbe...
        Pour l’instant je me suis rabattu sur la solution bitmap et utilise votre applet Java. J’ai mis un exemple sur mon site. Je ne sais pas comment joindre des images à mon message.

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mercredi 13 décembre 2006, par Christian Mercat

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